クォータニオン徹底解説

(※) 回転行列と回転行列を合成したものが回転行列になるというのは、それほど自明なことではないと思う人もいるでしょう。回転行列 \(A\) と回転行列 \(B\) を合成して行列 \(C = AB\) ができたとします。\(A,\ B\) は回転行列なので \(A^TA = B^TB = I,\ \mathrm{det}A = \mathrm{det}B = 1\) ですが、行列 \(C\) もこの性質を引き継ぎます。
$$
C^TC = (AB)^T(AB) = B^TA^TAB = I,\\
\mathrm{det}C = \mathrm{det}A \mathrm{det}B = 1
$$
この性質は行列によって座標変換された後の座標軸が正規直交座標系を維持し、外積の向きも変えない(右手座標系なら右手座標系のままになる)ことを意味するので、こうなることは当然ではあります。

ここで、行列 \(C\) で変化しないベクトル \(\vec{c}\) がみつかったとします。\(\vec{c}\) に直交するベクトル \(\vec{a}\) をひとつ選び、行列 \(C\) をかけたならば、\(C^TC = I\) となることから、\(C\) によってベクトルの内積は変化しないはずなので、\(C\vec{a}\) もまた\(\vec{c}\) に垂直なベクトルになるはずです。つまり、少なくとも \(\vec{a}\) は行列 \(C\) によって \(\vec{c}\) を軸としながら回転されることになります。次に、\(\vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}\) を \(C\) で変換してみましょう。\(C^TC = I\) に加えて \(\mathrm{det}C = 1\) でもあるので、行列 \(C\) は外積の関係を維持します(2ページ目最後の(※)参照)。つまり、\(C\vec{b} = \vec{c} \times (C\vec{a})\) となるので、\(\vec{b}\) は行列 \(C\) によって \(\vec{c}\) を回転軸として \(\vec{a}\) と同じ角度だけ回転されることがわかります。今、3つの互いに直交するベクトル \(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\) が行列 \(C\) によってどのように変化するかを見てきました。いずれも \(\vec{c}\) を軸とした同じ回転の影響を受けます。任意のベクトルはこれら3つのベクトルの線形結合であらわされ、行列が線形演算であることから、行列 \(C\) が回転行列であることが言えます。

あとは \(\vec{c}\) をみつけるだけです。任意の回転軸まわりの回転行列がどのようになるかを知っていれば、行列の反対称成分
$$ \vec{c} = \left(\begin{array}{c} C_{32}\ -\ C_{23} \\ C_{13}\ -\ C_{31} \\ C_{21}\ -\ C_{12}\end{array}\right) $$
が回転軸に平行なベクトルであることがわかるでしょう。このベクトルが行列 \(C\) で変化しないことを示します。

まず行列 \(C\) を3つの列ベクトルを使って
$$ C = \left(\begin{array}{ccc} & & \\ \vec{c_1} & \vec{c_2} & \vec{c_3} \\ & & \end{array}\right) $$
と書いたとします。また、\(x,\ y,\ z\) 方向の単位ベクトルをそれぞれ \(\hat{x_1},\ \hat{x_2},\ \hat{x_3}\) とすれば、上の \(\vec{c}\) は
$$ \vec{c} = \left(\begin{array}{c} \hat{x_3} \cdot \vec{c_2}\ -\ \hat{x_2} \cdot \vec{c_3} \\ \hat{x_1} \cdot \vec{c_3}\ -\ \hat{x_3} \cdot \vec{c_1} \\ \hat{x_2} \cdot \vec{c_1}\ -\ \hat{x_1} \cdot \vec{c_2} \end{array}\right) $$
と書けます。ここに行列 \(C\) を左からかければ、
$$ C \vec{c} = (\hat{x_3} \cdot \vec{c_2}\ -\ \hat{x_2} \cdot \vec{c_3}) \vec{c_1} + (\hat{x_1} \cdot \vec{c_3}\ -\ \hat{x_3} \cdot \vec{c_1}) \vec{c_2} + (\hat{x_2} \cdot \vec{c_1}\ -\ \hat{x_1} \cdot \vec{c_2}) \vec{c_3} $$
となりますが、次の恒等式
$$ \vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \cdot \vec{z}) \vec{y}\ -\ (\vec{x} \cdot \vec{y}) \vec{z} $$
を使えば、
$$ C \vec{c} = \hat{x_1} \times (\vec{c_2} \times \vec{c_3}) + \hat{x_2} \times (\vec{c_3} \times \vec{c_1}) + \hat{x_3} \times (\vec{c_1} \times \vec{c_2}) $$
と変形できます。\(\vec{c_1},\ \vec{c_2},\ \vec{c_3}\) は \(C^TC = 1\) であることから大きさが1で互いに直交することがわかります。また行列式が1、つまり、
$$ \mathrm{det}C = \vec{c_1} \cdot (\vec{c_2} \times \vec{c_3}) = \vec{c_2} \cdot (\vec{c_3} \times \vec{c_1}) = \vec{c_3} \cdot (\vec{c_1} \times \vec{c_2}) = 1 $$
となることも考慮すると、
$$ \vec{c_1} = \vec{c_2} \times \vec{c_3},\ \vec{c_2} = \vec{c_3} \times \vec{c_1},\ \vec{c_3} = \vec{c_1} \times \vec{c_2} $$
が言えます。これを使うと
$$ C \vec{c} = \hat{x_1} \times \vec{c_1} + \hat{x_2} \times \vec{c_2} + \hat{x_3} \times \vec{c_3} = \vec{c} $$
となることが確認できます。

補足
あまり複雑な計算を使わずに行列 \(C\) が回転行列になることを幾何学的に説明する方法を思いついたので追記しておきます。

\(\hat{x_1}\) を \(C\) で変換したものが \(\vec{c_1}\) なので、仮に \(C\) が回転軸 \(\vec{c}\) を持つ回転行列だとすれば、\(\vec{c}\) は \(\vec{c} \cdot \hat{x_1} = \vec{c} \cdot \vec{c_1}\) を満たす平面上にあるはずです。同じように、\(\hat{x_2}\) を \(C\) で変換したものが \(\vec{c_2}\) なので、\(\vec{c}\) は \(\vec{c} \cdot \hat{x_2} = \vec{c} \cdot \vec{c_2}\) を満たす平面上にあるはずです。これらの平面は共に原点を通り、必ず交わるので、このような \(\vec{c}\) は必ず存在します。

これで \(\hat{x_1}\) と \(\hat{x_2}\) が共通の軸を中心に回転して \(\vec{c_1},\ \vec{c_2}\) に移れることがわかりましたが、回転角は同じになるでしょうか? \(C^TC = I,\ \mathrm{det}C = 1\) であることから、行列 \(C\) は内積や外積の関係を維持します。つまり、\(\vec{c_1} \cdot \vec{c_2} = 0\) および \(\vec{c_1} \cdot (\vec{c} \times \vec{c_2}) = \hat{x_1} \cdot (\vec{c} \times \hat{x_2})\) が成り立つはずです。\(\vec{c_2}\) は \(\hat{x_2}\) を \(\vec{c}\) 軸まわりに回転させて得ることができるので、\(\vec{c}\) を中心軸とした \(\hat{x_2}\) に接する円錐面上にあるはずです。そして、この円錐面と \(\vec{c_1} \cdot \vec{c_2} = 0\) を満たす平面との交線は2つありますが、そのうちの片方だけが \(\vec{c_1} \cdot (\vec{c} \times \vec{c_2}) = \hat{x_1} \cdot (\vec{c} \times \hat{x_2})\) を満たすことになります。\(\hat{x_1}\) と \(\hat{x_2}\) が \(\vec{c}\) まわりに同じ角度だけ回転したならば、当然これらの関係を満たし、他の解の可能性はないことになります。

\(\vec{c_3}\) が残っていますが、\(C^TC = I,\ \mathrm{det}C = 1\) であることから、\(\vec{c_3} = \vec{c_1} \times \vec{c_2}\) と一意に決まり、行列 \(C\) が回転行列ならばこの関係を当然満たすので、\(\hat{x_3}\) を \(\vec{c}\) を回転軸として、\(\hat{x_1},\ \hat{x_2}\) と同じ角度だけ回転すると \(\vec{c_3}\) になることがわかります。
(補足ここまで)