今度は \(y(x) = \frac{Dn_z-n_x x}{n_y}\) とした場合の \(F(x, y)\) の積分です。前と同じように、
$$ \int_{x_0}^{x_1} F(x, y)\,dx = n_x(A+A’)-n_yB-n_z(C+C’) $$
のようにわけて、それぞれ計算していくことにします。ここで、
\begin{eqnarray*}
A & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{xy}{(D^2+x^2)(D^2+x^2+y(x)^2)} dx \\
& = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{n_y(Dn_z-n_xx)x}{\left(D^2+x^2\right)\left(D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2\right)}dx, \\
B & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{1}{D^2+x^2+y^2} dx \\
& = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{n_y^2}{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2} dx, \\
C & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{D y}{(D^2+x^2)(D^2+x^2+y^2)} dx \\
& = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{n_yD(Dn_z-n_xx)}{\left(D^2+x^2\right)\left(D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2\right)}dx, \\
A’ & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{x}{(D^2+x^2)^\frac{3}{2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}} dx, \\
C’ & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{D}{(D^2+x^2)^\frac{3}{2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}} dx
\end{eqnarray*}
です。
また、\(A’\) から計算してみます。
\begin{eqnarray*}
A’ & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{x}{(D^2+x^2)^\frac{3}{2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}} dx \\
& = & -\left[\frac{1}{\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}\right]_{x_0}^{x_1}+\int_{x_0}^{x_1}\frac{1}{\sqrt{D^2+x^2}}\frac{d}{dx}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}} dx \\
& = & -\left[\frac{1}{\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}\right]_{x_0}^{x_1} \\
& & \ – \int_{x_0}^{x_1}\frac{Dn_y(n_xD + n_zx)}{\left(D^2+x^2\right)\left(D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2\right)}dx
\end{eqnarray*}
これで \(A+A’\) を計算すれば、一部がキャンセルされて、
$$
A+A’ = -\left[\frac{1}{\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}\right]_{x_0}^{x_1}-\int_{x_0}^{x_1}\frac{n_xn_y}{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2}dx
$$
となり、第２項の被積分関数の分母は、\(n_x^2+n_y^2+n_z^2=1\) に注意すれば、
$$
D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2 = \frac{D^2n_y^2}{n_x^2+n_y^2} + (n_x^2+n_y^2)\left(x-\frac{Dn_zn_x}{n_x^2+n_y^2}\right)^2
$$
と平方完成できるので、いつものように
$$
x-\frac{Dn_zn_x}{n_x^2+n_y^2} = \frac{Dn_y}{n_x^2+n_y^2}\tan\theta
$$
とおいて
\begin{eqnarray*}
A+A’ & = & -\left[\frac{1}{\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}\right]_{x_0}^{x_1}-\int_{\theta_0}^{\theta_1}\frac{n_x}{D}d\theta \\
& = & -\left[\frac{1}{\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}+\frac{n_x}{D}\arctan\frac{n_yx-n_xy(x)}{D}\right]_{x_0}^{x_1}
\end{eqnarray*}
が得られます。
次に \(C’\) を計算してみましょう。前のページと同じように置換して部分積分することができるので、
\begin{eqnarray*}
C’ & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{D}{(D^2+x^2)^\frac{3}{2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}} dx \\
& = & \left[\frac{x}{D\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}\right]_{x_0}^{x_1}-\int_{x_0}^{x_1} \frac{x}{D\sqrt{D^2+x^2}}\frac{d}{dx}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}} \\
& = & \left[\frac{x}{D\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}\right]_{x_0}^{x_1} \\
& & \ +\int_{x_0}^{x_1}\frac{n_y(Dn_x+n_zx)x}{\left(D^2+x^2\right)\left(D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2\right)} dx
\end{eqnarray*}
となって、\(C+C’\) を計算すれば一部がキャンセルされて、
\begin{eqnarray*}
C+C’ & = & \left[\frac{x}{D\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}\right]_{x_0}^{x_1}+\int_{x_0}^{x_1}\frac{n_yn_z}{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2} dx \\
& = & \left[\frac{x}{D\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}+\frac{n_z}{D}\arctan\frac{n_yx-n_xy(x)}{D}\right]_{x_0}^{x_1}
\end{eqnarray*}
が得られます。
残りの \(B\) も同じように平方完成すれば積分できて、
\begin{eqnarray*}
B & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{n_y^2}{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2} dx \\
& = & \left[\frac{n_y}{D}\arctan\frac{n_yx-n_xy(x)}{D}\right]_{x_0}^{x_1}
\end{eqnarray*}
となります。
まとめると、
\begin{eqnarray*}
\int_{x_0}^{x_1} F(x, y(x))\,dx & = & n_x(A+A’)-n_yB-n_z(C+C’) \\
& = & -\left[\frac{Dn_x+n_zx}{D\sqrt{D^2+x^2}}\arctan\frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}}+\frac{1}{D}\arctan\frac{n_yx-n_xy(x)}{D}\right]_{x_0}^{x_1}
\end{eqnarray*}
となり、前回に比べてやはりシンプルにまとまりました。
