エリアライトの積分を計算してみた

今度は \(y = \frac{Dn_z-n_x x}{n_y}\) とした場合の \(F(x, y)\) の積分です。前と同じように、
$$ \int_{x_0}^{x_1} F(x, y)\,dx = n_xA-n_yB-n_zC, $$
のようにわけて、それぞれ計算していくことにします。ここで、
\begin{eqnarray*}
A & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{yx}{\sqrt{D^2+y^2+x^2}(D^2+x^2)}dx, \\
& = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{(Dn_z-n_xx)x}{\sqrt{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2}(D^2+x^2)}dx, \\
B & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{1}{\sqrt{D^2+y^2+x^2}}dx \\
& = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{n_y}{\sqrt{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2}} dx, \\
C & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{Dy}{\sqrt{D^2+y^2+x^2}(D^2+x^2)}dx \\
& = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{D(Dn_z-n_xx)}{\sqrt{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2}(D^2+x^2)}dx
\end{eqnarray*}
です。

まずは簡単そうな \(B\) の方から。
\begin{eqnarray*}
B & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{n_y}{\sqrt{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2}} dx \\
& = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{n_y}{\sqrt{\frac{D^2(n_y^2+n_z^2)(n_x^2+n_y^2)-D^2n_z^2n_x^2}{n_x^2+n_y^2}+(n_x^2+n_y^2)\left(x-\frac{Dn_zn_x}{n_x^2+n_y^2}\right)^2}} dx \\
& = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{n_y\sqrt{n_x^2+n_y^2}}{\sqrt{D^2n_y^2+\left\{(n_x^2+n_y^2)x-Dn_zn_x \right\}^2}} dx
\end{eqnarray*}
ここで、\(n_x^2+n_y^2+n_z^2 = 1\) を使いました。
$$ (n_x^2+n_y^2)x-Dn_zn_x = Dn_y\tan\theta $$
とおけば、
$$
dx = \frac{Dn_y}{(n_x^2+n_y^2)\cos^2\theta}d\theta, \\
\frac{1}{\sqrt{D^2n_y^2+\left\{(n_x^2+n_y^2)x-Dn_zn_x\right\}^2}} = \frac{\cos\theta}{Dn_y}
$$
となるので、
\begin{eqnarray*}
B & = & \frac{n_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\int_{\theta_0}^{\theta_1}\frac{1}{\cos\theta}d\theta \\
& = & \frac{n_y}{2\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\int_{\theta_0}^{\theta_1}\left\{\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}\right\}d\theta \\
& = & \frac{n_y}{2\sqrt{n_x^2 + n_y^2}}\left[\ln\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right]_{\theta_0}^{\theta_1}
\end{eqnarray*}
と積分できて、
$$ \left\{(n_x^2+n_y^2)x-Dn_zn_x\right\}^2 = D^2n_y^2 \tan^2\theta = D^2n_y^2 \frac{\sin^2\theta}{1-\sin^2\theta} $$
から
\begin{eqnarray*}
\sin\theta & = & \frac{(n_x^2+n_y^2)x-Dn_zn_x}{\sqrt{D^2n_y^2+\left\{(n_x^2+n_y^2)x-Dn_zn_x\right\}^2}} \\
& = & \frac{n_yx-n_xy(x)}{\sqrt{(n_x^2+n_y^2)(D^2+y(x)^2+x^2)}}
\end{eqnarray*}
となるので、
\begin{eqnarray*}
B & = & \frac{n_y}{2\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\left[\ln\frac{\sqrt{(n_x^2+n_y^2)(D^2+y(x)^2+x^2)}+n_yx-n_xy(x)}{\sqrt{(n_x^2+n_y^2)(D^2+y(x)^2+x^2)}-n_yx+n_xy(x)}\right]_{x_0}^{x_1} \\
& = & \frac{n_y}{2\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\left[\ln\frac{\left\{\sqrt{(n_x^2+n_y^2)(D^2+y(x)^2+x^2)}+n_yx-n_xy(x)\right\}^2}{D^2}\right]_{x_0}^{x_1} \\
& = & \frac{n_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\ln\frac{\sqrt{(n_x^2+n_y^2)(D^2+y(x_1)^2+x_1^2)}+n_yx_1-n_xy(x_1)}{\sqrt{(n_x^2+n_y^2)(D^2+y(x_0)^2+x_0^2)}+n_yx_0-n_xy(x_0)}
\end{eqnarray*}
が得られます。

次に \(C\) を計算します。とりあえず、
$$ x = D \tan\theta $$
とおくと、
$$ dx = D(1+\tan^2\theta)d\theta = \frac{D^2+x^2}{D}d\theta $$
となるので、
\begin{eqnarray*}
C & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{D(Dn_z-n_xx)}{\sqrt{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2}(D^2+x^2)}dx \\
& = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{n_z-n_x\tan\theta}{\sqrt{(n_y^2+n_z^2)-2n_zn_x\tan\theta+(n_x^2+n_y^2)\tan^2\theta}}d\theta \\
& = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{n_z\cos\theta-n_x\sin\theta}{\sqrt{n_y^2+(n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)^2}}d\theta
\end{eqnarray*}
となります。
ここで、
$$ n_y^2+(n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)^2 \le n_y^2+n_z^2+n_x^2 = 1 $$
なので
$$ n_y^2 + (n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)^2 = \cos^2\phi $$
とおくことができ、両辺を微分すると
$$ (n_z\sin\theta+n_x\cos\theta)(n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)d\theta = \sin\phi\cos\phi d\phi $$
となるけど、
\begin{eqnarray*}
\sin^2\phi & = & 1-\cos^2\phi \\
& = & n_x^2+n_z^2-(n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)^2 \\
& = & (n_z\sin\theta+n_x\cos\theta)^2
\end{eqnarray*}
となるので、
$$ (n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)d\theta = \cos\phi d\phi $$
となって、
\begin{eqnarray*}
C & = & \int_{\phi_0}^{\phi_1} d\phi \\
& = & \left[\arccos\sqrt{n_y^2+(n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)^2}\right]_{\theta_0}^{\theta_1} \\
& = & \left[\arccos\left(n_y\sqrt{\frac{D^2+x^2+y(x)^2}{D^2+x^2}}\right)\right]_{x_0}^{x_1} \\
& = & \left[\arctan \frac{n_xD+n_z x}{n_y\sqrt{D^2+x^2+y(x)^2}}\right]_{x_0}^{x_1}
\end{eqnarray*}
が得られます。

さて、\(B\) と \(C\) を積分できたので、\(A\) を次のようにわけます。
$$
A = \frac{n_x^2+n_z^2}{n_x}A’-\frac{n_x}{n_y}B-\frac{n_z}{n_x}C, \\
A’ = \int_{x_0}^{x_1} \frac{D^2}{\sqrt{D^2(n_y^2+n_z^2)-2Dn_zn_xx+(n_x^2+n_y^2)x^2}(D^2+x^2)}dx
$$

とりあえず
$$ x = D\tan\theta $$
とおけば、
\begin{eqnarray*}
A’ & = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{1}{\sqrt{(n_y^2+n_z^2)-2n_zn_x\tan\theta+(n_x^2+n_y^2)\tan^2\theta}}d\theta \\
& = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{\cos\theta}{\sqrt{n_y^2+(n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)^2}}d\theta
\end{eqnarray*}
となって、
$$ \sin\alpha = \frac{n_x}{\sqrt{n_x^2+n_z^2}},\ \cos\alpha = \frac{n_z}{\sqrt{n_x^2+n_z^2}} $$
とおきかえれば、
\begin{eqnarray*}
A’ & = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{\cos\theta}{\sqrt{n_y^2+(n_x^2+n_z^2)(\cos\alpha\cos\theta-\sin\alpha\sin\theta)^2}}d\theta \\
& = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{\cos(\theta+\alpha-\alpha)}{\sqrt{n_y^2+(n_x^2+n_z^2)\cos^2(\theta+\alpha)}}d\theta \\
& = & \frac{1}{\sqrt{n_x^2+n_z^2}}\int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{n_z\cos(\theta+\alpha)+n_x\sin(\theta+\alpha)}{\sqrt{n_y^2+(n_x^2+n_z^2)\cos^2(\theta+\alpha)}}d\theta \\
\end{eqnarray*}
が得られます。次に、
$$ \cos(\theta+\alpha) = \frac{n_y}{\sqrt{n_x^2+n_z^2}}\tan\phi $$
とおけば、
$$ -\sin(\theta+\alpha)d\theta = \frac{n_y}{\sqrt{n_x^2+n_z^2}\cos^2\phi}d\phi $$
から、
\begin{eqnarray*}
A’ & = & \frac{1}{\sqrt{n_x^2+n_z^2}}\int_{\theta_0}^{\theta_1}\left\{\frac{n_z\cos(\theta+\alpha)}{\sin(\theta+\alpha)\sqrt{n_y^2+(n_x^2+n_z^2)\cos^2(\theta+\alpha)}}+\frac{n_x}{\sqrt{n_y^2+(n_x^2+n_z^2)\cos^2(\theta+\alpha)}}\right\}\sin(\theta+\alpha)d\theta \\
& = & -\frac{1}{n_x^2+n_z^2}\int_{\phi_0}^{\phi_1}\left\{\frac{n_yn_z\tan\phi}{\cos\phi\sqrt{n_x^2+n_z^2-n_y^2\tan^2\phi}}+\frac{n_x}{\cos\phi}\right\}d\phi \\
& = & -\frac{1}{n_x^2+n_z^2}\int_{\phi_0}^{\phi_1}\left\{\frac{n_yn_z\sin\phi}{\cos\phi\sqrt{\cos^2\phi-n_y^2}}+\frac{n_x}{\cos\phi}\right\} d\phi \\
\end{eqnarray*}
となります。第二項は積分可能な形になっているので、第一項の方で \(\cos^2\phi-n_y^2 = t^2\) とおくと、
\begin{eqnarray*}
tdt = -\sin\phi\cos\phi d\phi
\end{eqnarray*}
から、
$$
A’ = \frac{1}{n_x^2+n_z^2}\left\{\int_{t_0}^{t_1}\frac{n_y n_z}{t^2+n_y^2}dt-\int_{\phi_0}^{\phi_1}\frac{n_x}{\cos\phi}\right\}d\phi
$$
となり、\(t = n_y\tan\psi\) とおくことで簡単に積分できて、
$$
A’ = \frac{n_z}{n_x^2+n_z^2}\left(\psi_1-\psi_0\right)-\frac{n_x}{2(n_x^2+n_z^2)}\left[\ln\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}\right]_{\phi_0}^{\phi_1}
$$
が得られます。
ここで、
\begin{eqnarray*}
\tan^2\phi & = & \frac{n_x^2+n_z^2}{n_y^2}\cos^2(\theta+\alpha) \\
& = & \frac{1}{n_y^2}(n_z\cos\theta-n_x\sin\theta)^2 \\
& = & \frac{y(x)^2}{D^2+x^2}
\end{eqnarray*}
から、
\begin{eqnarray*}
\cos\phi & = & \sqrt{\frac{D^2+x^2}{D^2+x^2+y(x)^2}} \\
\sin\phi & = & \frac{y(x)}{\sqrt{D^2+x^2+y(x)^2}}
\end{eqnarray*}
および、
\begin{eqnarray*}
\tan\psi & = & \frac{\sqrt{\cos^2\phi-n_y^2}}{n_y}\\
& = & \sqrt{\frac{D^2+x^2-n_y^2(D^2+x^2+y(x)^2)}{n_y^2(D^2+x^2+y(x)^2)}} \\
& = & \sqrt{\frac{(n_x^2+n_z^2)(D^2+x^2)-n_y^2y(x)^2}{n_y^2(D^2+x^2+y(x)^2)}} \\
& = & \frac{Dn_x+n_zx}{n_y\sqrt{D^2+x^2+y(x)^2}}
\end{eqnarray*}
が導かれるので、
\begin{eqnarray*}
A’ & = & \left[\frac{n_z}{n_x^2+n_z^2}\arctan\frac{Dn_x+n_zx}{n_y\sqrt{D^2+x^2+y(x)^2}}-\frac{n_x}{2(n_x^2+n_z^2)}\ln\frac{\sqrt{D^2+x^2+y(x)^2}+y(x)}{\sqrt{D^2+x^2+y(x)^2}-y(x)} \right]_{x_0}^{x_1} \\
& = & \left[\frac{n_z}{n_x^2+n_z^2}\arctan\frac{Dn_x+n_zx}{n_y\sqrt{D^2+x^2+y(x)^2}}-\frac{n_x}{n_x^2+n_z^2}\ln\frac{\sqrt{D^2+x^2+y(x)^2}+y(x)}{\sqrt{D^2+x^2}} \right]_{x_0}^{x_1}
\end{eqnarray*}
となります。

まとめると、\(y(x) = \frac{Dn_z-n_x x}{n_y}\) とした場合、
\begin{eqnarray*}
\int_{x_0}^{x_1}F(x, y)\,dx & = & n_xA-n_yB-n_zC \\
& = & (n_x^2+n_z^2)A’-\frac{n_x^2+n_y^2}{n_y}B-2n_zC \\
& = & n_x\ln\frac{\sqrt{D^2+x_1^2}\left(\sqrt{D^2+x_0^2+y(x_0)^2}+y(x_0)\right)}{\sqrt{D^2+x_0^2}\left(\sqrt{D^2+x_1^2+y(x_1)^2}+y(x_1)\right)} \\
& + & \sqrt{n_x^2+n_y^2}\ln\frac{\left(\sqrt{(n_x^2+n_y^2)(D^2+x_0^2+y(x_0)^2)}+n_y x_0-n_xy(x_0)\right)}{\left(\sqrt{(n_x^2+n_y^2)(D^2+x_1^2+y(x_1)^2)}+n_yx_1-n_xy(x_1)\right)} \\
& – & n_z\arctan\frac{Dn_x+n_zx_1}{n_y\sqrt{D^2+x_1^2+y(x_1)^2}}+n_z\arctan\frac{Dn_x+n_zx_0}{n_y\sqrt{D^2+x_0^2+y(x_0)^2}}
\end{eqnarray*}