このページでは \(y\) が定数の場合の \(F(x, y)\) の積分を計算します。
$$ \int_{x_0}^{x_1} F(x, y)\,dx = n_xA-n_yB-n_zC $$
のように、\(A, B, C\) にわけて、それぞれ計算していくことにします。ここで、
\begin{eqnarray*}
A & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{y x}{\sqrt{D^2+y^2+x^2}(D^2+x^2)} dx, \\
B & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{1}{\sqrt{D^2+y^2+x^2}} dx, \\
C & = & \int_{x_0}^{x_1} \frac{D y}{\sqrt{D^2+y^2+x^2}(D^2+x^2)} dx
\end{eqnarray*}
です。また、積分範囲の \(x_0, x_1\) はエリアライトの範囲と同じ記号を使っていますが、別物と考えてください。
まず \(B\) において、
$$ x = \sqrt{D^2+y^2} \tan\theta $$
とおけば、
$$
dx = \frac{\sqrt{D^2+y^2)}}{\cos^2\theta} d\theta \\
\frac{1}{\sqrt{D^2+y^2+x^2}} = \frac{\cos\theta}{\sqrt{D^2+y^2}}
$$
となるので、
\begin{eqnarray*}
B & = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{1}{\cos\theta} d\theta \\
& = & \frac{1}{2} \int_{\theta_0}^{\theta_1} \left\{ \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} \right\}d\theta \\
& = & \frac{1}{2} \left[ \ln\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \right]_{\theta_0}^{\theta_1} \\
& = & \frac{1}{2} \left[ \ln\frac{\sqrt{D^2+x^2+y^2}+x}{\sqrt{D^2+x^2+y^2}-x} \right]_{x_0}^{x_1} \\
& = & \frac{1}{2} \left[ \ln\frac{(\sqrt{D^2+x^2+y^2}+x)^2}{D^2+y^2} \right]_{x_0}^{x_1} \\
& = & \ln\frac{\sqrt{D^2+x_1^2+y^2}+x_1}{\sqrt{D^2+x_0^2+y^2}+x_0}
\end{eqnarray*}
が得られます。
\(A\) でも、
$$ x = \sqrt{D^2+y^2} \tan\theta $$
とおけば、
\begin{eqnarray*}
A & = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{y(D^2+y^2)\tan\theta}{\sqrt{(D^2+y^2)(1+\tan^2\theta)}(D^2+(D^2+y^2)\tan^2\theta)\cos^2\theta} d\theta \\
& = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{y\sqrt{D^2+y^2}\sin\theta}{D^2+y^2\sin^2\theta} d\theta \\
& = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{y\sqrt{D^2+y^2}\sin\theta}{D^2+y^2-y^2\cos^2\theta} d\theta \\
& = & \frac{1}{2} \int_{\theta_0}^{\theta_1} \left\{ \frac{y\sin\theta}{\sqrt{D^2+y^2}-y\cos\theta}+\frac{y\sin\theta}{\sqrt{D^2+y^2}+y\cos\theta} \right\}d\theta \\
& = & \frac{1}{2} \left[ \ln \frac{\sqrt{D^2+y^2}-y\cos\theta}{\sqrt{D^2+y ^2}+y\cos\theta} \right]_{\theta_0}^{\theta_1} \\
& = & \frac{1}{2} \left[ \ln \frac{\sqrt{D^2+x^2+y^2}-y}{\sqrt{D^2+x^2+y^2}+y} \right]_{x_0}^{x_1} \\
& = & \frac{1}{2} \left[ \ln \frac{D^2+x^2}{\left(\sqrt{D^2+x^2+y^2}+y\right)^2} \right]_{x_0}^{x_1} \\
& = & \ln \frac{\sqrt{D^2+x_1^2}\left(\sqrt{D^2+x_0^2+y^2}+y\right)}{\sqrt{D^2+x_0^2}\left(\sqrt{D^2+x_1^2+y^2}+y\right)}
\end{eqnarray*}
が得られます。
\(C\) では、
$$ \sin\theta = \frac{xy}{\sqrt{(D^2+x^2)(D^2+y^2)}} $$
とおきます。微分すると、
\begin{eqnarray*}
d\theta & = & \frac{1}{\cos\theta}\left\{\frac{y}{\sqrt{(D^2+x^2)(D^2+y^2)}}-\frac{x^2y}{(D^2+x^2) \sqrt{(D^2+x^2)(D^2+y^2)}} \right\} dx\\
& = & \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2y^2}{(D^2+x^2)(D^2+y^2)}}}\frac{y(D^2+x^2)-x^2y}{(D^2+x^2) \sqrt{(D^2+x^2)(D^2+y^2)}} dx \\
& = & \frac{Dy}{(D^2+x^2)\sqrt{D^2+x^2+y^2}} dx
\end{eqnarray*}
となって \(C\) の被積分関数に一致するので
\begin{eqnarray*}
C & = & \int_{\theta_0}^{\theta_1} d\theta \\
& = & \theta_1-\theta_0 \\
& = & \arcsin \frac{x_1y}{\sqrt{(D^2+x_1^2)(D^2+y^2)}}-\arcsin \frac{x_0y}{\sqrt{(D^2+x_0^2)(D^2+y^2)}} \\
& = & \arctan \frac{x_1y}{D\sqrt{D^2+x_1^2+y^2}}-\arctan \frac{x_0y}{D\sqrt{D^2+x_0^2+y^2}}
\end{eqnarray*}
が得られます。
まとめると、
\begin{eqnarray*}
\int_{x_0}^{x_1} F(x, y)\,dx & = & n_xA-n_yB-n_zC \\
& = & n_x \ln\frac{\sqrt{D^2+x_1^2}\left(\sqrt{D^2+x_0^2+y^2}+y\right)}{\sqrt{D^2+x_0^2}\left(\sqrt{D^2+x_1^2+y^2}+y\right)}-n_y\ln\frac{\sqrt{D^2+x_1^2+y^2}+x_1}{\sqrt{D^2+x_0^2+y^2}+x_0} \\
& &\ {}-n_z \arctan \frac{x_1y}{D\sqrt{D^2+x_1^2+y^2}}+n_z \arctan \frac{x_0y}{D\sqrt{D^2+x_0^2+y^2}}
\end{eqnarray*}
となります。
次のページでは \(y = \frac{Dn_z-n_xx}{n_y}\) とした場合の \(F(x, y)\) の積分を計算しましょう。
