デュアルクォータニオン徹底解説

デュアルクォータニオンの球面線形補間

2つのデュアルクォータニオン
\begin{eqnarray*}
d_1 & = & r_1 + \epsilon q_1, \\
d_2 & = & r_2 + \epsilon q_2
\end{eqnarray*}
を補間することを考えてみましょう。ここで \(d_1,\ d_2\) は大きさが1のデュアルクォータニオン、つまり、\(r_1,\ r_2\) は回転をあらわす大きさが1のクォータニオンで、\(q_1,\ q_2\) は
\begin{eqnarray*}
r_1 \cdot q_1 & = & 0, \\
r_2 \cdot q_2 & = & 0 \\
\end{eqnarray*}
を満たすクォータニオンとします。

クォータニオン徹底解説の最後のページ では、理想の補間がどうあるべきかについて議論してクォータニオンの球面線形補間を導きました。ここでも同じ議論を適用して、
$$ d_2 d_1^{-1} \equiv d_3 = \left(\cos\beta,\ \sin\beta\,\vec{\alpha}\right) $$
となるような \(\vec{\alpha},\ \beta\) をみつけて、\(d_1,\ d_2\) をパラメータ \(\tau\) で補間したデュアルクォータニン \(d(\tau)\) を
$$ d(\tau) = \left(\cos \tau\beta,\ \sin \tau\beta\,\vec{\alpha}\right) d_1 $$
として計算します。

\(d_3\) は \(d_1\) であらわされる状態を \(d_2\) であらわされる状態に遷移するデュアルクォータニオンになので、\(d(\tau)\) は \(\tau\) が0から1に近づくにつれて、回転軸を固定したままらせん運動をして状態 \(d_1\) から状態 \(d_2\) に移る関数になっています。そのため、空間全体でみれば、最短短経路で状態を遷移させる補間になっています(※)。

クォータニオンの補間のときとの違いは、\(\vec{\alpha}\) や \(\beta\) が二重数になっていることだけなので、クォータニオンのときとまったく同じ計算で、\(d(\tau)\) を \(\beta\) を使って次のように書くことができます。
\begin{eqnarray*}
d(\tau) & = & \left\{\cos \tau\beta + \sin \tau\beta\,\frac{d_2 d_1^{-1} – \cos\beta}{\sin\beta}\right\} d_1 \\
& = & \frac{\sin \tau\beta}{\sin\beta} d_2 + \frac{\sin\beta \cos \tau\beta\ – \cos\beta \sin \tau\beta}{\sin\beta} d_1 \\
& = & \frac{\sin \tau\beta}{\sin\beta} d_2 + \frac{\sin{(1-\tau)\beta}}{\sin\beta}d_1
\end{eqnarray*}
最後の式変形で、\(\sin{(A-B)} = \sin A \cos B\ – \cos A \sin B\) となることを使っていますが、これが二重数でも成り立つかどうか不安な人は \(f(x + \epsilon y) = f(x) + \epsilon y f'(x)\) となることを使って確かめてみてください(テイラー展開の形が同じになるので、確かめなくても成り立つはずですが)。

\(\beta\) は \(d_3\) のスカラー成分から計算します。\(d_3\) を求めるためにはデュアルクォータニオンの逆変換 \(d_1^{-1}\) が必要ですが、\(d_1\) は大きさが1のデュアルクォータニオンなので、
$$ |d_1|^2 = d_1 \overline{d_1} = 1 $$
です。つまり、回転と移動をあらわすデュアルクォータニオンの逆変換は、回転をあらわすクォータニオンと同じように、
$$ d_1^{-1} =\overline{d_1} $$
となります。

これを用いて \(d_3\) を計算すると
\begin{eqnarray*}
d_3 & = & d_2 d_1^{-1} \\
& = & r_2 \overline{r_1} + \epsilon\left(q_2 \overline{r_1} + r_2 \overline{q_1}\right)
\end{eqnarray*}
が得られます。ここからスカラー成分を取り出して、
$$ \cos\beta = r_1 \cdot r_2 + \epsilon\left(r_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot r_2\right) $$
と計算できます。

ここで、
$$ \beta = \Theta + \epsilon L $$
と書くことにすると、
$$ \cos\beta = \cos\Theta\ – \epsilon L \sin\Theta $$
となるので、\(\Theta,\ L\) は次のようになります。
$$
\cos\Theta = r_1 \cdot r_2, \\
L \sin\Theta = -\left(r_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot r_2\right)
$$

これらを用いて、\(d(\tau)\) を \(r + \epsilon q\) の形に書き換えてみましょう。
\begin{eqnarray*}
\frac{\sin t\beta}{\sin\beta} & = & \frac{\sin \tau\Theta + \epsilon \tau L \cos \tau\Theta}{\sin\Theta + \epsilon L \cos\Theta} \\
& = & \frac{\sin \tau\Theta + \epsilon \tau L \cos \tau\Theta}{\sin\Theta}\left(1 – \epsilon L \frac{\cos \tau\Theta}{\sin\Theta}\right) \\
& = & \frac{\sin \tau\Theta}{\sin\Theta}\left(1 + \epsilon L \sin\Theta \cos \tau\Theta \frac{\tau\sin\Theta\ – \sin \tau\Theta}{\sin^2\Theta}\right)\\
& = & \frac{\sin \tau\Theta}{\sin\Theta}\left\{1 – \epsilon \left(r_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot r_2\right) F(\Theta,\ \tau)\right\}
\end{eqnarray*}
$$ F(\Theta,\ \tau) \equiv \cos \tau\Theta\, \frac{\tau\sin\Theta\ – \sin \tau\Theta}{\sin^2\Theta} $$
と書けば、
\begin{eqnarray*}
d(\tau) & = & \frac{\sin \tau\beta}{\sin\beta} d_2 + \frac{\sin{(1-\tau)\beta}}{\sin\beta}d_1 \\
& = & \frac{\sin \tau\Theta}{\sin\Theta} \left\{r_2 + \epsilon q_2\ – \epsilon F(\Theta,\ \tau)\left(r_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot r_2\right) r_2\right\} \\
& & + \frac{\sin (1-\tau)\Theta}{\sin\Theta} \left\{r_1 + \epsilon q_1\ – \epsilon F(\Theta,\ 1-\tau)\left(r_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot r_2\right) r_1\right\} \\
\end{eqnarray*}
となります。

ここで念の為、\(\Theta \rightarrow 0\) の極限で \(F(\Theta,\ \tau)\) が発散しないことを確認しておきます。
$$ \lim_{\Theta \rightarrow 0} F(\Theta,\ \tau) = \frac{\tau\left(\Theta\ – \frac{1}{3!}\Theta^3\right) – \left(\tau\Theta\ – \frac{1}{3!}\tau^3 \Theta^3\right)}{\Theta^2} = -\frac{\tau \left(1-\tau^2\right)\Theta}{3!} = 0 $$

また、\(\delta(\Theta,\ \tau)\) は \(\tau = 0\) のときと \(\tau = 1\) のときには 0 となります。

それにしても、この補間はちょっと計算が大変ですね。スキニングにデュアルクォータニオンを使う場合、ポリゴンの頂点毎にこの計算をしないといけないため、ゲームには向きません。そこで、Kavan らはデュアルクォータニオンを線形補間して正規化する方法で代用しました。この方法で得られるデュアルクォータニオン \(d_{LN}(\tau)\) は、
$$ d_{LN}(\tau) = \frac{\tau d_2 + (1-\tau) d_1}{|\tau d_2 + (1-\tau) d_1|} $$
と書けます。

ここで、
\begin{eqnarray*}
r_L(\tau) & = & \tau r_2 + (1-\tau) r_1, \\
q_L(\tau) & = & \tau q_2 + (1-\tau) q_1
\end{eqnarray*}
と書くことにすれば、
\begin{eqnarray*}
d_{LN}(\tau) & = & \frac{r_L(\tau) + \epsilon q_L(\tau)}{|r_L(\tau)| + \epsilon \frac{r_L(\tau) \cdot q_L(\tau)}{|r_L(\tau)|}} \\
& = & \frac{r_L(\tau) + \epsilon q_L(\tau)}{|r_L(\tau)|} – \epsilon \frac{(r_L(\tau) \cdot q_L(\tau)) r_L(\tau)}{|r_L(\tau)|^3}
\end{eqnarray*}
となり、
\begin{eqnarray*}
r_{LN}(\tau) & = & \frac{r_L(\tau)}{|r_L(\tau)|}, \\
q_{LN}(\tau) & = & \frac{q_L(\tau)}{|r_L(\tau)|}
\end{eqnarray*}
と置くことで、
$$ d_{LN}(\tau) = r_{LN}(\tau) + \epsilon\left\{q_{LN}(\tau)\ – \{r_{LN}(\tau) \cdot q_{LN}(\tau)\} r_{LN}(\tau)\right\} $$
と記述できます。

補間された回転は \(r_{LN}(\tau)\) であり、補間された移動量 \(t_{LN}(\tau)\) は
$$ d_{LN} = r_{LN} + \frac{\epsilon}{2}t_{LN}r_{LN} $$
の形式から
\begin{eqnarray*}
t_{LN}(\tau) & = & 2 \left(d_{LN} – r_{LN}\right)\overline{r_{LN}} \\
& = & 2 \epsilon \left\{q_{LN}(\tau) \overline{r_{LN}}(\tau)\ – r_{LN}(\tau) \cdot q_{LN}(\tau)\right\}
\end{eqnarray*}
となります。欲しいのは、このベクトル成分であり、スカラー成分は0になるはずです。ですので、計算する必要があるのは
$$ 2 q_{LN}(\tau) \overline{r_{LN}}(\tau) = \frac{2 q_{L}(\tau) \overline{r_{L}}(\tau)}{|r_L|^2} $$
だけであり、このベクトル成分が移動量ベクトルになります。

線形補間されたデュアルクォータニオンを正規化して、回転量と移動量を取り出すプログラムをシェーダー言語(HLSL)を使って示しておきましょう。

この方法であればゲームのスキニングにも使うことができるくらいシンプルです。

でも正しい補間との誤差が気になりますよね? Kavanらの評価によれば、回転角度で 8.15 度未満の誤差、移動では 15.1% の未満の誤差に収まるそうです。15.1% ってだいぶ大きいように思いますが、物理シミュレーションをしているわけではなく、グラフィックスで使うだけなので、その程度の誤差は許容して、パフォーマンスを重視するのがよいでしょう。それに、こんな誤差よりもデュアルクォータニオンの補間の性質を持っていることの方が重要なのです。