デュアルクォータニオン徹底解説

デュアルクォータニオンの2つの形式の対応関係

ここまで2つのまったく異なる方法でデュアルクォータニオンを導出してきました。しかし、得られた2つの形式のデュアルクォータニオンの関係は明らかではありません。このページではこれらの形式を相互に変換して、同じものになることを示したいと思います。

そこでまず、前のページで得られた
$$ d(\vec{a},\ \theta,\ \vec{c},\ l) = \left(\cos\frac{\theta + \epsilon l}{2},\ \sin\frac{\theta + \epsilon l}{2}\,( \vec{a}\ – \epsilon\,\vec{a}\times\vec{c})\right) $$
を、2ページ目の形式
$$ d = r + \frac{\epsilon}{2} tr $$
に書き換えてみたいと思います。

そのためには、二重数の関数になっている \(\cos\frac{\theta + \epsilon l}{2}\) や \(\sin\frac{\theta + \epsilon l}{2}\) を普通の二重数に書き換える必要があります。そこでまず、二重数の関数 \(f(x + \epsilon y)\) が次の関係を満たすことを示しておきます。
$$ f(x + \epsilon y) = f(x) + \epsilon y\, f'(x) $$
ただし、\(f\) はテイラー展開可能な(何回でも微分できる)関数とします。また、\(f'(x)\) は \(f(x)\) の導関数 (\(f(x)\) を1回微分したもの) です。

この式を示すために、\(f(x + \epsilon y)\) をゼロのまわりでテイラー展開します。
$$ f(x + \epsilon y) = f(0) + (x + \epsilon y)\, f'(0) + \cdots + \frac{1}{n!}(x + \epsilon y)^n f^{(n)}(0) + \cdots $$
ここで、\(f^{(n)}\) は \(f(x)\) の n 次導関数 (\(f(x)\) を n 回微分したもの) です。

\(\epsilon^2 = 0\) なので、
$$ (x + \epsilon y)^n = x^n + \epsilon\, n\,y\,x^{n-1} $$
となり、上のテイラー展開の式は
\begin{eqnarray*}
f(x + \epsilon y) & = & f(0) + x\,f'(0) + \cdots + \frac{x^n}{n!}\,f^{(n)}(0) + \cdots \\
& & + \epsilon y\left(f'(0) + \cdots + \frac{x^{(n-1)}}{(n – 1)!}\,f^{(n)}(0) + \cdots\right) \\
& = & f(x) + \epsilon y\, f'(x)
\end{eqnarray*}
と変形でき、上の関係式が示されました。

このことから、
\begin{eqnarray*}
\cos\frac{\theta + \epsilon l}{2} & = & \cos\frac{\theta}{2}\ – \epsilon \frac{l}{2} \sin\frac{\theta}{2}, \\
\sin\frac{\theta + \epsilon l}{2} & = & \sin\frac{\theta}{2} + \epsilon \frac{l}{2} \cos\frac{\theta}{2}, \\
\end{eqnarray*}
となるので、

\begin{eqnarray*}
d & = & \left(\cos\frac{\theta + \epsilon l}{2},\ \sin\frac{\theta + \epsilon l}{2}\,(\vec{a}\ – \epsilon\,\vec{a}\times\vec{c})\right) \\
& = & \left(\cos\frac{\theta}{2}\ – \epsilon \frac{l}{2} \sin\frac{\theta}{2},\ \sin\frac{\theta}{2}\,(\vec{a}\ – \epsilon\,\vec{a}\times\vec{c}) + \epsilon \frac{l}{2} \cos\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\right) \\
& = & \left(\cos\frac{\theta}{2},\ \sin\frac{\theta}{2}\vec{a}\right) + \epsilon \left(-\frac{l}{2} \sin\frac{\theta}{2},\ \frac{l}{2} \cos\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\ – \sin\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\times\vec{c}\right)
\end{eqnarray*}
のように書き換えることができます。これをもうひとつの形式、
$$ d = r + \frac{\epsilon}{2} tr $$
と比べれば、
\begin{eqnarray*}
r & = & \left(\cos\frac{\theta}{2},\ \sin\frac{\theta}{2}\vec{a}\right), \\
tr & = & \left(-l \sin\frac{\theta}{2},\ l \cos\frac{\theta}{2} \vec{a}\ – 2 \sin\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\times\vec{c}\right)
\end{eqnarray*}
であることがわかります。

\(t\) を
$$ t = \left(0,\ \vec{t}\right) $$
と書くことにすれば、
\begin{eqnarray*}
tr & = & \left(0,\ \vec{t}\right) \left(\cos\frac{\theta}{2},\ \sin\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\right) \\
& = & \left(-(\vec{t} \cdot \vec{a}) \sin\frac{\theta}{2},\ \cos\frac{\theta}{2}\,\vec{t}\ – \sin\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\times\vec{t}\right)
\end{eqnarray*}
となるので、
$$ \vec{t} \cdot \vec{a} = l, \\
\cos\frac{\theta}{2}\,\vec{t}\ – \sin\frac{\theta}{2}\vec{a}\times\vec{t} = l \cos\frac{\theta}{2} \vec{a}\ – 2 \sin\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\times\vec{c} $$
を満たす必要があります。\(\vec{t}\) の \(\vec{a}\) 軸成分が \(l\) になることから、\(\vec{t}\) を次のように \(\vec{a}\) に平行な成分と垂直な成分に分けることができます。
$$ \vec{t} = l\,\vec{a}\ – \vec{t_\perp} $$
\(\vec{t_\perp}\) は \(\vec{a}\) と直交するので、
$$ \vec{t_\perp} = x\,\vec{a}\times\vec{c} + y\,\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{c}) $$
の形で書くことができ、\(x,\ y\) は次の式を満たさなければなりません。
$$ (\cos\frac{\theta}{2}x + \sin\frac{\theta}{2}y)\,\vec{a}\times\vec{c}\ – (\sin\frac{\theta}{2}x\ – \cos\frac{\theta}{2}y)\,\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{c}) = -2 \sin\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\times\vec{c} $$
ここで、\(\vec{a}\) が単位ベクトルなので、\(\vec{a}\times(\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{c})) = -\vec{a}\times\vec{c}\) となることを使いました。

\(\vec{a}\times\vec{c}\) と \(\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{c})\) のそれぞれの係数が両辺で一致することから、
\begin{eqnarray*}
\cos\frac{\theta}{2}x + \sin\frac{\theta}{2}y & = & -2 \sin\frac{\theta}{2},\\
\sin\frac{\theta}{2}x\ – \cos\frac{\theta}{2}y & = & 0
\end{eqnarray*}
が得られ、この連立方程式を解けば、
\begin{eqnarray*}
x & = & -2 \sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2} = -\sin \theta,\\
y & = & -2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = \cos\theta\ – 1
\end{eqnarray*}
となります。

まとめると、
$$ d(\vec{a},\ \theta,\ \vec{c},\ l) = \left(\cos\frac{\theta + \epsilon l}{2},\ \sin\frac{\theta + \epsilon l}{2}\,( \vec{a}\ – \epsilon\,\vec{a}\times\vec{c})\right) $$
で表現されるデュアルクォータニオンは、
$$ r = \left(\cos\frac{\theta}{2},\ \sin\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\right) $$
であらわされる回転の後に、
$$ \vec{t} = l\,\vec{a}\ – \vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{c})\ + \cos\theta\,\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{c})\ – \sin \theta\,\vec{a}\times\vec{c} $$
だけ移動した状態をあらわすことになります。

ここで、
$$ \vec{c_\perp} \equiv -\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{c}) = \vec{c}\ – (\vec{a}\cdot\vec{c})\,\vec{a} $$
と置くと、\(\vec{c_\perp}\) は \(\vec{c}\) を通る回転軸と原点を含む回転軸に直交する平面との交点であり、
$$ \vec{t} = l\,\vec{a}\ + \vec{c_\perp}\ – \cos\theta\,\vec{c_\perp}\ – \sin \theta\,\vec{a}\times\vec{c_\perp} $$
は点 \(\vec{c}\) を通る回転軸まわりに原点を \(\theta\) だけ回転して、さらに回転軸方向に \(l\) だけ移動した点になっているのがわかります。これで2つの形式のデュアルクォータニオンが同じものであることがはっきりしました。

逆の変換もやっておきましょう。
$$ d = r + \frac{\epsilon}{2} tr $$
であらわされるデュアルクォータニオンの \(r,\ t\) を
\begin{eqnarray*}
r & = & \left(\cos\frac{\theta}{2},\ \sin\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\right), \\
t & = & \left(0,\ \vec{t}\right)
\end{eqnarray*}
と書くことにすれば、\(\vec{a}\) や \(\theta\) はもう一方の表現 \(d(\vec{a},\ \theta,\ \vec{c},\ l)\) のものと共通です。残りの \(\vec{c},\ l\) を \(\vec{a},\ \theta,\ \vec{t}\) であらわすと、
\begin{eqnarray*}
l & = & \vec{a}\cdot\vec{t} \\
\vec{c} & = & \frac{1}{2}\left(\vec{t} + \cot\frac{\theta}{2}\,\vec{a}\times\vec{t}\right), ~~~\cot\frac{\theta}{2} \equiv \frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\end{eqnarray*}
となります。ただし、\(\vec{c}\) には
$$ \vec{c} \rightarrow \vec{c} + \lambda\,\vec{a} $$
とする自由度が残っていることに注意してください。そして、\(\lambda = -\frac{l}{2}\) とすれば、\(\vec{c}\) を \(\vec{a}\) が直交するように選ぶことができます。